Mod nasıl alınır?
Mod alma, bölmede kalanı bulmaktır. a sayısı n'ye bölünür, bölüm aşağı yuvarlanır ve a = q × n + r eşitliğindeki r kalan olarak yazılır. Saat aritmetiği bunun günlük örneğidir: saat 10'dan 5 saat sonra (10 + 5) mod 12 = 3 olur.
Negatif sayılarda matematikte kalan 0 ile n − 1 arasında seçilir. C, Java ve JavaScript'teki % işleci ise bölmeyi sıfıra doğru yuvarladığı için −7 % 3 = −1 verir; hesaplayıcı iki değeri birlikte gösterir.
Modüler ters, a × x ≡ 1 (mod n) eşitliğini sağlayan x sayısıdır. Genişletilmiş Öklid algoritmasıyla bulunur ve yalnızca a ile n aralarında asalsa (EBOB 1 ise) vardır. Adımlar tabloda gösterilir.
Modüler üs (aᵇ mod n), üs çok büyük olsa bile tekrarlı kare alma yöntemiyle birkaç düzine çarpmada bulunur: üs ikilik sayıya çevrilir, biti 1 olan kuvvetler çarpılır ve her adımda mod alınır.
Formül
- Kalan
a = q × n + r, 0 ≤ r < n, q = ⌊a ÷ n⌋- Modüler ters
a × a⁻¹ ≡ 1 (mod n), EBOB(a, n) = 1 iken- Modüler üs
aᵇ mod n = ∏ a^(2ⁱ) mod n (b'nin 1 olan bitleri)
Örnek hesap
Aşağıdaki örnek, şu değerlerle (İşlem: a mod n (kalan), Sayı (a): 17, Modül (n): 5) hesaplayıcının kendisiyle hesaplanmıştır.
| Adım | Hesap | Değer |
|---|---|---|
| Bölme | 17 = 3 × 5 + 2 | 2 |
| Denklik | 17 ≡ 2 (mod 5) | 2 |
| 17 mod 5 | 2 |
Kaynaklar
- Wolfram MathWorld — Congruence (a ≡ b mod n) (erişim 01.11.2026)
- Wolfram MathWorld — Modular Inverse (genişletilmiş Öklid algoritması) (erişim 01.11.2026)
Son güncelleme: (içerik ya da kullanılan verinin son değiştiği ya da kontrol edildiği tarih).
Hesaba katılmayanlar
- Sayılar en fazla 10¹⁵ büyüklüğünde tam sayı olabilir; ondalık sayılarla mod alınmaz.
- Doğrusal denklik sistemleri (Çin kalan teoremi) çözülmez.
- Şifreleme amaçlı kullanım için tasarlanmamıştır; yalnızca matematik eğitimi içindir.
Sıkça sorulan sorular
17 mod 5 kaçtır?
17 = 3 × 5 + 2 olduğu için 17 mod 5 = 2'dir.
Negatif sayının modu nasıl alınır?
Kalanın 0 ile n − 1 arasında olması için bölüm aşağı yuvarlanır: −7 ÷ 3 = −2,33 → −3, kalan −7 − (−3 × 3) = 2. Programlama dillerinin % işleci −1 verebilir.
Modüler ters ne zaman yoktur?
a ile n'nin 1'den büyük ortak böleni varsa ters yoktur. Örneğin 6 ile 9'un EBOB'u 3 olduğundan 6'nın mod 9'da tersi bulunmaz.
3 üzeri 200 mod 13 nasıl hesaplanır?
3³ = 27 ≡ 1 (mod 13) olduğundan 3²⁰⁰ = (3³)⁶⁶ × 3² ≡ 9 olur. Hesaplayıcı bunu tekrarlı kare almayla bulur ve her adımı tabloda gösterir.