Denklem nasıl çözülür?
Birinci dereceden ax + b = c denkleminde sabit terim karşıya atılır ve katsayıya bölünür: 2x + 5 = 11 ise 2x = 6, x = 3. Sonucu denklemde yerine koyup sağlamak iyi bir alışkanlıktır.
İkinci dereceden denklemi önce tüm terimleri bir tarafa toplayarak ax² + bx + c = 0 biçimine getir. x² + 5 = 3x denklemi x² − 3x + 5 = 0 olur; burada a = 1, b = −3, c = 5'tir.
Diskriminant Δ = b² − 4ac köklerin türünü söyler. x² − 5x + 6 = 0 için Δ = 25 − 24 = 1 > 0; kökler (5 ± 1) ÷ 2, yani 3 ve 2'dir. Δ tam kare değilse kök sadeleştirilir: x² − 2 = 0 için x = ±√2.
Δ negatifse parabol x eksenini kesmez ve gerçek kök yoktur. x² + 2x + 5 = 0 için Δ = −16, kökler −1 + 2i ve −1 − 2i karmaşık sayılarıdır (i² = −1).
Kökleri bulmadan da toplamı ve çarpımı bilinir (Vieta): x₁ + x₂ = −b ÷ a, x₁ · x₂ = c ÷ a. Tepe noktasının apsisi −b ÷ 2a'dır.
Formül
- Diskriminant
Δ = b² − 4ac- Kök formülü
x₁,₂ = (−b ± √Δ) ÷ 2a- Kökler toplamı ve çarpımı
x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a- Birinci derece
ax + b = c → x = (c − b) ÷ a
Örnek hesap
Aşağıdaki örnek, şu değerlerle (Denklem türü: 2. dereceden: ax² + bx + c = 0, a katsayısı: 1, b katsayısı: -5, c (sabit terim): 6) hesaplayıcının kendisiyle hesaplanmıştır.
| Adım | Hesap | Değer |
|---|---|---|
| Denklem | x² − 5x + 6 = 0 | ax² + bx + c = 0 |
| Diskriminant | Δ = b² − 4ac = (-5)² − 4 × 1 × 6 | 1 |
| √Δ | √1 = 1 | 1 |
| Birinci kök | x₁ = (−b + √Δ) ÷ 2a = (5 + 1) ÷ 2 = 3 | 3 |
| İkinci kök | x₂ = (−b − √Δ) ÷ 2a = (5 − 1) ÷ 2 = 2 | 2 |
| Tepe noktası | T(−b ÷ 2a; −Δ ÷ 4a) = (2,5; -0,25) | (2,5; -0,25) |
| Kökler | x₁ = 3; x₂ = 2 |
Kaynaklar
- Wolfram MathWorld — Quadratic Equation (diskriminant ve kök formülü) (erişim 04.11.2026)
- NIST DLMF §1.11 — Zeros of Polynomials (ikinci derece denklemin kökleri) (erişim 04.11.2026)
- Wolfram MathWorld — Linear Equation (ax + b = 0) (erişim 04.11.2026)
Son güncelleme: (içerik ya da kullanılan verinin son değiştiği ya da kontrol edildiği tarih).
Hesaba katılmayanlar
- Yalnızca tek bilinmeyenli birinci ve ikinci dereceden denklemler çözülür; üçüncü dereceden denklem ve denklem sistemi bu sayfada yok.
- Denklemi = 0 biçimine getirmek ve katsayıları doğru işaretle girmek sana kalır; metin hâlinde denklem ayrıştırılmaz (Hesap asistanına yazabilirsin).
- Ondalık sonuçlar on basamağa yuvarlanarak gösterilir; kesin biçim (kesir ya da kök) yalnızca katsayılar tam sayıyken verilir.
- a = 0 girilirse denklem ikinci dereceden olmaz; birinci dereceden olarak çözülür ve uyarı gösterilir.
Sıkça sorulan sorular
Diskriminant nedir, ne işe yarar?
Δ = b² − 4ac, ikinci dereceden denklemin köklerinin türünü gösterir: pozitifse iki farklı gerçek kök, sıfırsa çakışık (çift) kök, negatifse gerçek kök yoktur ve kökler karmaşıktır.
Diskriminant negatifse denklemin çözümü yok mu?
Gerçek sayılarda çözüm yoktur; çözüm kümesi boş kümedir. Karmaşık sayılarda ise iki eşlenik kök vardır: x = (−b ± i√(−Δ)) ÷ 2a. Hesaplayıcı ikisini de gösterir.
Kökler toplamı ve çarpımı nasıl bulunur?
Vieta bağıntılarıyla: kökler toplamı −b ÷ a, kökler çarpımı c ÷ a. x² − 5x + 6 = 0 için toplam 5, çarpım 6'dır.
Denklem çarpanlara nasıl ayrılır?
Kökler x₁ ve x₂ ise ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) olur. x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2). Kökler kesirliyse kesin biçim satırındaki değerleri kullan.
Birinci dereceden denklemde a = 0 olursa ne olur?
x terimi kaybolur. Kalan eşitlik her zaman doğruysa (4 = 4) sonsuz çözüm vardır, hiç doğru değilse (4 = 5) çözüm yoktur.